[OpenFOAM 배경이론 간단정리] 열유체의 구배방정식

작성일 : 2015년 10월  17일
번역일 : 2016년    4월    8일

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OpenFOAM 의 배경이 되는 이론들을 간단히 정리한 노트입니다.

1. 열유체의 구배방정식

1.1  압축성과 비압축성

     유체를 수학적으로 다룰 때, 밀도변화가 작은 유체를 비압축성유체 (incompressible fluid) 로 가정한다. 한편, 밀도변화를 무시할 수 없는 경우에는 압축성유체 (compressible fluid) 로 가정한다. 일반적으로, 속도가 마하수 0.3 이하의 경우 (밀도변화가 5% 이하의 경우) 에 비압축성 유체로 다루게 된다.

     OpenFOAM 에서 온도를 다루는 문제의 경우 일반적으로 압축성 유체를 가정한다. 열물성 (thermophysical properties) 를 다룰 수 있는 것은 압축성 유체 솔버 뿐이다.

1.2  연속 방정식

     연속방정식 (질량보존의 식) 은 다음과 같이 표현된다.

(식 1)

여기서, u 는 속도,  ρ 는 밀도를 나타낸다. 정상상태에서는 시간미분항을 생략할 수 있다. 비압축성 유체의 경우,

(식2)

1.3  운동방정식

     운동방정식 (Navier-Stokes 방정식)은 다음과 같이 표현된다.

(식3)

여기서,  μ 는 점성계수이다.

     OpenFOAM 의 압축성유체솔버에서는 다음과 같은 식을 푼다.

(식4)

우변의 2번째항은 라플라스 연산자로 처리된다. 우변의 3번째항의 divergence 안에는 속도구배의 전치의 편차텐서의 형태로 표현되어 (편차텐서의 경우 계수가 2/3 이 아닌 1/3) 양의 값으로 계산된다. 정상상태의 경우 시간미분항은 생략된다.

     비압축성 유체 솔버에서는 다음과 같은 식이 계산된다.

(식5)

여기서 p 는 밀도로 나눈 압력이다 (출력시켜도 이대로 출력되므로, 값을 볼때 주의해야 한다).  ν 는 동점성계수이다. 우변의 3번째 항의 divergence 중에는 속도구배의 전치의 편차텐서로 표현되어, 마찬가지로 양의 값으로 계산된다.

     우변의 3번째 항은 왜 이런 형태를 띄고 있는가? 점성계수를 상수로 보면,

(식6)

연속방정식에서 좌변의 2번째 항을 무시하고 (이때 우변의 2번째항은 남겨놓는다), 변형시키면,

(식7)

식 (6) 에서 우변의 2번째 항을 무시하고 위 식에 대입시키면,

(식8)

연속방정식을 만족한다고 한다면 우변의 2번째 항이 사라지므로 문제가 없지만, 우변을 이대로 놓고 풀어도 되는가? 점성계수가 일정하지 않은 난류해석일 때 이 식의 형태를 사용해도 되는 것일까?

1.4  에너지방정식

     단위질량 당 에너지 E 의 방정식은 다음과 같이 표현된다.

(식9)

여기서, k 는 열전달률, T 는 절대온도를 나타낸다. 응력과 중력의 항은 무시하고 있다.

     전체 에너지 E 는, 단위질량 당 내부 에너지 e 와 운동에너지 K 의 합이다.

(식10)

운동에너지는

(식11)

식 (9) 를 내부에너지와 운동에너지로 표현하면

(식12)

     단위질량당 엔탈피 h 를

(식13)

로 나타내면, 식 (12) 는

(식14)

엔탈피 h 는, 정압비열을 Cp 로 하여

(식15)

여기서 ha 는 절대엔탈피, h0 은 온도가 T0 일때의 엔탈피이며, 일반적으로는 T0 = 293.15 로하는 표준생성엔탈피를 사용한다.

     비열이 일정한 경우, h 는 다음과 같이 표현된다.

(식16)

이것을 식 (14) 에 대입하여, 밀도를 일정하다고 보고 운동량의 항과 압력의 항을 무시하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

(식17)

여기서, alpha = k/(rho*Cp) 는 열확산률이다.

     OpenFOAM의 압축성유체솔버에서는, 설정에 따라 식 (12) 또는 식 (14) 를 푼다. 온도의 확산항은 다음의 식으로 표현된다.

(식18)

여기서, alpha = k/Cp 는 열확산률에 밀도를 곱한 것이다.

     부력을 다루기 위해 boussinesq 근사를 사용하는 경우, 유체는 비압축성유체로 다루어지며, 온도는 식 (17) 로 구하게 된다.

1.5  상태방정식

     압축성유체에 있어, 밀도를 구하기 위해 상태방정식 (equation of state) 를 이용한다. 유체가 기체인 경우, 이상기체 (ideal gas, 완전 기체 perfect gas 라고도 한다)의 상태방정식을 사용하는는 경우가 많다.

(식19)

여기서, W 는 분자량 [kg/mol], R 은 기체상수 [j/mol-K] 이다.

     OpenFOAM의 경우, 분자량을 W [kg/kmol] 로 하여, 기체정수의 1000배를  RR [J/kmol-K], 기체정수를 분자량으로 나눈 것을 R [J/kg-K] 으로 표현한다. 이때, 밀도는 다음과 같은 식으로 나타난다.

(식20)

     액체의 경우, 밀도를 다항식 등으로 표현한다.

     OpenFOAM의 열물성에서는 rho(ρ) 형과 형이 psi(ψ) 형이 있다. rho 형에서는 밀도를 직접계산하나, psi 형에서는 압축률 ψ= ρ/p 에 압력을 곱해 밀도를 계산한다. psi 형에서 이상기체의 상태방정식을 사용할 경우, 압축률은 ψ = 1/RT 이다.

1.6  부력 다루기

     부력을 고려하는 경우, 먼저 중력을 고려해야 한다.

(식21)

여기서, g 는 중력가속도이다.

     OpenFOAM에서는 압력구배와 중력의 항을 다음과 같이 다룬다.

(식22)

압력 p 대신에 p_rgh 를 구한다. p 는 구해진 p_rgh 에서부터 역계산한다.

     밀도변화를 무시할 수 있는 경우, 기준밀도를 rho_0, 기준온도를  T0, 체적팽창률을 beta 로 하여, 밀도를 다음과 같이 표현할 수 있다.

(식23)

이 근사를 Boussinesq 근사라고 한다. 밀도변화를 무시할 수 있으므로, 비압축성유체에서만 사용할 수 있으며 운동방정식은 다음과 같이 표현된다.

(식24)

p 는 밀도로 나누어진 상태이다. Boussinesq 근사를 이용한 압력구배와 중력의 항은, rho_k = 1 - beta(T - T0)로

(식25)

여기서 p_rgh 는

1.7  난류의 효과

     난류해석에서는, 난류모델의 방정식과 함께, 평균화된 운동방정식이나 에너지식을 풀게 된다. 이것들은 형식적으로는 원래의 방정식과 같은 형태를 가지고 있으며, 난류의 효과는 점성계수나 열확산률의 난류성분에 더하여 표현한다. 난류를 고려한 운동방정식과 에너지방정식은 다음과 같이 표현된다.

(식26)

(식27)

여기서 mu_eff = mu + mu_t, alpha_eff = alpha + alpha_t 이며, mu_t는 난류점성계수, alpha_t 는 난류열확산률이다.

     mu_t 는 난류모델에 따라 달라지며, k-epsilon 모델에서는,

(식28)

여기서 C_mu = 0.09 이다.

     alpha_t 에 대해서는, 난류확산계수로부터

(식29)

여기서, Pr_t 는 난류 Prandtl수로, 값은 경험적으로 0.85를 사용한다.

     화학에서 사용되는 수송방정식의 확산계수의 경우,  OpenFOAM 에서는 난류점성계수를 그대로 사용한다.

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